Feuilletages du plan, pré-laminations du cercle, actions de groupes sur le cercle, et flots pseudo-Anosov.

by Christian Bonatti (cnrs)

Friday Nov 15, 2024, 11:15 AM → 12:15 PM Europe/Paris

112 (ICJ)

Mather (1982) avait remarqué qu'un un feuilletage du plan induit une compactification naturelle du plan en un disque compact, en ajoutant un cercle à l'infini. Dans un travail récent (2024), je revisite cette construction en la généralisant à toute famille dénombrable de feuilletages du plan, éventuellement singuliers (singularités de types selles à k>1 séparatrices) , avec une condition de "transversalité à l'infini". Je montre également l'unicité de la compactification. modulo trois hypothèses naturelles:

toute feuille va d'un point à l'infini à un autre,

les points du cercle qui sont limite de feuilles sont denses,

tout ensemble de feuilles aboutissant à un même point du cercle est dénombrable.

Ce résultat amène une question naturelle, ou plutôt deux questions naturelles:

Q1: quels ensembles de paires de points du cercles sont induits par des feuilletages (transverses, singuliers) du plan

Q2: quels ensembles de paires de points du cercles peuvent être complétés de façon à correspondre à une des familles denses de feuilles de feuilletages du plans.

 

Avec Thomas Barthelmé et Katie Mann (preprint 2024), nous donnons des réponses complètes à ces deux questions, dans le cas de deux feuilletages (possiblement singuliers). Ceci nous permet (preprint 2025 presque fini) de montrer que les flots d'Anosov ou pseudo-Anosov des variétés de dimension 3 sont caractérisés par l'action naturelle du groupe fondamental de la variété sur le cercle à l'infini du plan bifeuilleté qui leur est associé.

Avec Théo Marty nous donnons des réponses complètes à ces questions dans le cas (qui est étonnamment plus compliqué) d'un seul feuilletage (possiblement singulier).

 

Dans cet exposé, je présenterai les questions, nos résultats et des éléments de preuves.