Le théorème de Pitman et ses généralisations

par Manon Defosseux

vendredi 22 nov. 2024, 15:30 → 16:30 Europe/Paris

Amphithéâtre Hermite (Institut Henri Poincaré)

  Le théorème de Pitman de 1975 affirme que si $B$ est un mouvement brownien réel, et $I$, au temps $t$, l’infimum de $B$ sur $[0,t]$, alors le processus $B-2I$ a la même loi qu’un processus de Bessel de dimension 3.   Un groupe de Coxeter, le plus simple d’entre eux, celui de type $A_1$, joue dans le théorème un rôle important.
Dans les années 2000, Philippe Biane, Philippe Bougerol et Neil O’Connell ont introduit une transformation de Pitman généralisée définie pour tout groupe de Coxeter de cardinal fini et proposé un théorème de Pitman valable pour n’importe lequel de ces groupes. Biane, Bougerol et O’Connell ont montré que la transformation de Pitman généralisée jouait un rôle essentiel dans le modèele des chemins de Littelmann. Ce modèle appartient à la théorie combinatoire des représentations, et le théorème de Pitman au vaste champ des probabilités dites intégrables. Dans ce domaine, la correspondance de Robinson—Schented—Knuth, dont le modèle de chemins fournit une généralisation, est l’outil de prédilection pour comprendre certains modèles aléatoires comme les modèles de particules en interaction ou la percolation de dernier passage.  
Nous présenterons les résultats de Biane, Bougerol et O'Connell en tâchant, le plus souvent possible, de préciser comment ils s’interprètent dans le contexte de ces modèles.