Codes systématiques et idéaux polynomiaux

par Eleonora Guerrini (Université de Grenoble)

mercredi 31 mars 2010, 16:30 → 17:30 Europe/Paris

XR.203 (Bâtiment XLIM)

Dans cet exposé un modèle algébrique pour la caractérisation des codes correcteurs systématiques est présenté. L'intérêt pour cette famille dérive de la volonté de généraliser les codes linéaires afin de rechercher des codes qui soient optimaux du point de vue de la distance. En fait, il est possible démontrer que tout code linéaire est équivalent à un code systématique, mais il existe des codes systématiques non-linéaires à distance plus grande de tout linéaire qui partage les même paramètres n (longueur) k (dimension). A la base de cette approche, le fait que tout code systématique est en correspondance avec la base de Groebner réduite de son idéal d'annulation. Grâce à cette correspondance, nous décrivons un algorithme qui, étant donnés n,k, d entiers, fournit la caractérisations des codes systématiques avec paramètres n,k et distance au moins d. Le point central de l'algorithme est le calcul de la base de Groebner d'un certain idéal B(n,k,t) qui est invariant sous l'action d'un groupe de permutations et présente de propriétés d'inclusions dans d'autres idéaux du même type (par ex. dans B(n+1,k,t+1) et B(n+1,k+1,t)). Avec des techniques similaires, il est possible aussi de formuler un algorithme pour le calcul de la distribution des distances d'un code systématique et une nouvelle borne pour la distance de ces codes.