L'espace des sous-groupes d'un groupe dénombrable $\Gamma$ s'identifie à un fermé du Cantor $\{0,1\}^{\Gamma}$. Par un théorème de Cantor Bendixson, il existe une unique partition de cet espace en un ensemble dénombrable et un fermé sans point isolé, appelé noyau parfait de $\Gamma$. La conjugaison par tout élément de $\Gamma$ induit un homéomorphisme sur l'espace de ses sous-groupes, donc préserve le noyau parfait.
Dans cet exposé, on étudie l'espace des sous-groupes des groupes de Baumslag Solitar généralisés (GBS), c'est-à-dire des groupes agissant de façon cocompacte sans inversion sur un arbre orienté avec stabilisateurs d'arêtes et de sommets cycliques infinis.
Généralisant les résultats obtenus par Alessandro Carderi, Damien Gaboriau, François Le Maître et Yves Stalder sur les groupes de Baumslag Solitar, on calcule le noyau parfait d'un GBS non moyennable $\Gamma$ et on montre l'existence d'une partition dénombrable de ce noyau telle que :
- une pièce est fermée, toutes les autres sont ouvertes (et également fermées ssi le GBS considéré est virtuellement le produit d'un groupe libre avec $\mathbb{Z}$) ;
- l'action par conjugaison sur chacune des pièces est topologiquement transitive. En particulier, il existe une orbite dense dans chacune de ces pièces.
