Mesures de Gibbs et dynamiques en environnement singulier

par Hugo Eulry (Journée Jeunes)

mardi 18 mars 2025, 14:00 → 14:45 Europe/Paris

Fokko du Cloux (Bâtiment Braconnier, La Doua)

Les mesures invariantes jouent un rôle crucial dans l'étude du comportement en temps long des systèmes dynamiques, car elles décrivent les propriétés statistiques de l'évolution du système au fil du temps. Dans cet exposé, nous nous intéresserons à des dynamiques gouvernées par un opérateur singulier : l’hamiltonien d’Anderson, un opérateur de Schrödinger dont le potentiel est aléatoire, donné par un bruit blanc spatial, reflétant l'irrégularité de l’environnement dans lequel évolue le système.

Nous étudierons les dynamiques régies par cet opérateur et nous nous intéresserons à la construction de mesures invariantes dans ce cadre singulier. Après avoir introduit la mesure gaussienne correspondante, le champ libre gaussien d’Anderson, nous examinerons l’équation de quantification associée. Une fois la mesure de Gibbs construite à l’aide de méthodes variationnelles, nous explorerons les conséquences dynamiques pour le modèle d’Anderson $\Phi^4_2$ : invariance, caractère bien-posé global, propriété de Feller forte et ergodicité.

Les résultats présentés sont issus de travaux en collaboration avec Antoine Mouzard (Université Paris-Nanterre) et Tristan Robert (Université de Lorraine).