Les équations d’agrégation-diffusion modélisent de nombreux phénomènes, notamment en astrophysique et en biologie (chimiotactisme). L’exemple le plus connu est celui du système de Keller-Segel.
Ici, nous considérons une classe de modèles de type Keller-Segel dont les solutions explosent dans la limite non diffusive.
Nous caractérisons précisément leur comportement (normes de Lebesgue/Sobolev) lorsque le coefficient de diffusion est petit, dans le cas symétrique: il s'agit d'un exemple de comportement à petite échelle décrit de façon précise.
Dans une première partie, nous ferons une présentation des résultats à petite échelle en faisant le parallèle avec les résultats antérieurs analogues pour diverses variantes de l'équation de Burgers.
Dans une deuxième partie, nous nous plongerons davantage dans les modèles de type Keller-Segel et nous expliquerons les détails des preuves entre inégalités fonctionnelles classiques (Gagliardo-Nirenberg, Hardy-Littlewood-Sobolev) et utilisation d'un moment bien choisi.
