Les théorèmes de nonexistence et de classification de type Liouville, pour les problèmes elliptiques non linéaires dans l’espace ou le demi-espace, ont une longue histoire, avec des contributions classiques de Bernstein, de Giorgi, Gidas-Spruck, Berestycki-Caffarelli-Nirenberg, . . .
D’autre part le système de Lane-Emden
(LE) −∆u = v p, −∆v = uq,
avec p, q > 1, est un exemple modèle de système elliptique hamiltonien et a été intensivement étudié. Dans cet exposé nous présenterons un résultat récent de type Liouville (en collaboration avec Yimei Li), qui établit la nonexistence de solutions positives de (LE) dans le demi-espace Rn+ avec conditions nulles au bord. La nouveauté du résultat est l’absence de restrictions sur p, q et sur la croissance de la solution lorsque xn tend vers l’infini.
