Dans cet exposé, je discuterai de l’auto-adjonction de l’opérateur de Dirac en 2D couplé avec une combinaison d’interactions $\delta$ du type électrostatiques et scalaires de Lorentz, supportée sur une courbe fermée et Lipschitz. Les nouveaux éléments principaux de cette étude sont l’utilisation explicite de la transformée de Cauchy sur des courbes non régulières et le lien direct avec la propriété de Fredholm d’un opérateur intégral singulier de bord. Cela permet de prouver l’auto-adjonction pour une nouvelle gamme de constantes de couplage, incluant et étendant tous les résultats précédents pour cette classe de problèmes. L’étude est particulièrement précise pour le cas des polygones curvilignes, car les angles peuvent être pris en compte de manière explicite. En particulier, si la courbe est un polygone curviligne avec des angles obtus, il existe alors une unique réalisation auto-adjointe avec un domaine contenu dans $H^{\frac 12}$ pour toute la gamme des coefficients non critiques dans la condition de transmission.
Les résultats sont basés sur un travail en collaboration avec Badreddine Benhellal et Konstantin Pankrashkin.
