L'algèbre de Iwahori-Hecke d'un groupe de Coxeter est une déformation de son algèbre de groupe. Elle permet entre autres d'introduire les polynômes de Kazhdan-Lusztig, qui possèdent diverses interprétations en théorie de Lie. Deodhar a introduit des versions paraboliques de ces polynômes. Dans ce cas, on considère un sous-groupe parabolique standard W' de W (qui est encore un groupe de Coxeter), et on construit une action de l'algèbre de Hecke de W sur un module ayant une base indexée par W/W'.
Il n'existe pas à proprement parler de théorie satisfaisante des "sous-groupes de Coxeter" d'un groupe de Coxeter. Etant donné un sous-groupe W' d'un groupe de Coxeter possédant lui-même une structure de groupe de Coxeter, l'on peut se demander sous quelles hypothèses on peut construire un module de base W/W' généralisant celui de Deodhar, et des polynômes de Kazhdan-Lusztig associés.
On s'intéresse au problème ci-dessus dans le cas où W' est donné par les points fixes d'un automorphisme d'ordre 2 d'un sous-groupe parabolique standard de W. Un tel groupe possède également une structure de groupe de Coxeter. Dans le cas où le système simple de W' ne possède pas de réflexion (de W) qui ne soit pas simple, on verra qu'on peut généraliser le module de Deodhar (travail en commun avec Pierre-Emmanuel Chaput et Lucas Fresse). Ceci repose de façon essentielle sur l'étude des éléments de longueur minimale dans les classes à gauche modulo W'. Contrairement au cas d'un sous-groupe parabolique standard, une classe possède en général plusieurs éléments de longueur minimale et il s'agit de comprendre leur comportement (travail en commun avec Nathan Chapelier). Pour faire ces constructions, l'on est amenés à définir de façon naturelle une généralisation d'ordre de Bruhat sur W/W'. Comme dans le cas d'un groupe de Weyl fini, cet ordre est obtenu dans certains cas comme un ordre d'inclusion d'adhérences d'orbites de certains sous-groupes du groupe linéaire général agissant sur la variété de drapeaux.
