Il est bien connu que l’étude des actions d’un groupe sur un intervalle
réel par homéomorphismes (préservant l’orientation) est équivalente à
l’étude de ses actions sur des ensembles munis d’un ordre invariant. Si
on demande que l’action soit par difféomorphismes (de classe C^r), ce
point de vue combinatoire n’est pas applicable il y a des restrictions
additionnelles sur l’action, qui deviennent de plus en plus
contraignantes lorsque r grandit. Plusieurs de ces restrictions
concernent la régularité au moins C^r avec r>1. Le cas des actions
seulement différentiables (i.e. de classe C^1) est un peu ambivalent :
en comparaisons avec la régularité supérieure, ce cas est bien plus
flexible et on y retrouve plusieurs comportement qualitatifs des
actions par homéomorphismes, néanmoins quelques restrictions sont
connues.
Dans cet exposé, je vais expliquer des résultats qui illustrent les
deux côtés de cette ambivalence. D’une part, pour certaines classes de
groupes (comme les groupes résolubles, et le groupe de Thompson), les
actions de classe C^1 sont très rigides et peuvent être classifiées,
alors que les actions de classe C^0 sont bien plus compliquées (travaux
en commun avec Brum, Rivas, Triestino). D’autre part, pour les groupes
de croissances (localement) sous-exponentielles, toute action sur un
ensemble ordonné peut être réalisée par une action C^1 sur un
intervalle (travail avec Kim, de la Salle, Triestino). Je vais
expliquer en particulier comment la croissance des orbites d’une action
(exponentielle ou pas) joue un rôle crucial pour décider de sa
lissabilité.
