Champ de Weierstrass (Durand-Kerner-Dochev and co)

par Olivier Ruatta (Université de Limoges, XLIM-DMI)

jeudi 21 oct. 2010, 10:30 → 11:30 Europe/Paris

XR.203 (Bâtiment XLIM)

Lors d'un épisode précédent (séminaire d'équipe puis JNCF), j'ai expliqué qu'il n'existe pas d'automate rationnel BCSS (c'est-à-dire dans le modèle de calcul Blum-Cucker-Shub-Smale) permettant d'approximer une racine d'un polynôme pour presque tout point de départ et presque tout polynôme dès que le degré des polynômes considérés dépasse strictement 4. Je me suis servi de se fait pour motiver l'inérêt pour la conjecture de Weierstrass : si on ne peut pas en approximer une racine, on peut les approximer toutes avec l'itération de Weierstrass qui donne un automate rationnel. C'est toujours une conjecture. Je me suis beaucoup intéressé à cette conjecture et pour étudier la dynamique de cette itération discrète, j'ai introduit le champ de vecteurs de Weierstrass. C'est un champs de vecteur dont les points fixes sont génériquement isolés et ont les racines du polynôme d'entrée pour coordonnées. J'en ai déduit un automate globalement convergent pour calculer toutes les racines d'un polynôme de degré plus grand ou égale à 5. J'ai passé sous le tapis beaucoup de propriétés géométriques de ce champ de vecteurs. Et beaucoup de questions qui peuvent motiver des intégrateur d'EDO ! Réparont cette forfaiture. Dans cette exposé, je monterai la construction de ce champ de vecteurs et j'en étudierai quelques propriétés fondamentales (c'est un remonté d'un champ radial sur un revêtement différentiel adéquat ...). Je montrerai quelques expériences avec ce champ de vecteurs (quelques portraits de phase) et je donnerai quelques problèmes auquels je ne sais pas répondre sur les intégrales premières de ce champ (l'algébricité d'icelles). Cela pourrais s'appeler la longue route vers Galois si ce n'était déjà pris.