Sasha Bontemps : "Noyau parfait de l'espace des sous-groupes des groupes de Baumslag Solitar généralisés"

mardi 2 juil. 2024, 10:30 → 11:30 Europe/Paris

 

Dans cet exposé, on étudie l'espace des sous-groupes des groupes de Baumslag Solitar généralisés (GBS), c'est-à-dire des groupes agissant de façon cocompacte sans inversion sur un arbre orienté avec stabilisateurs d'arêtes et de sommets cycliques infinis. Les résultats présentés généralisent ceux obtenus par Alessandro Carderi, Damien Gaboriau, François Le Maître et Yves Stalder sur l'étude du noyau parfait des groupes de Baumslag Solitar.

Etant donné un GBS $\mathrm{\Gamma }$ agissant sur un arbre orienté $T$ comme précédemment, on montre, de même que pour les Baumslag Solitar, que le noyau parfait est constitué de l'ensemble des sous-groupes $\mathrm{\Lambda }$ dont le graphe de groupes $\mathrm{\Lambda }T$ est infini. On définit une fonction de l'ensemble des sous-groupes de \Gamma dans $\mathbb{N}\cup \{\mathrm{\infty }\}$ qui est invariante par conjugaison et généralise la notion de phénotype définie pour les Baumslag Solitar. Cette quantité nous permet de partitionner le noyau parfait en un ensemble dénombrable de pièces invariantes par conjugaison sur lesquelles l'action par conjugaison est topologiquement transitive.

Pour parvenir à ces résultats, on explique comment perturber le graphe de groupes d'un sous-groupe $\mathrm{\Lambda }$ du noyau parfait de $\mathrm{\Gamma }$ et on montre que cette perturbation permet de créer un sous-groupe proche de $\mathrm{\Lambda }$ dans l'espace des sous-groupes de $\mathrm{\Gamma }$. Pour ce faire, on donne une interprétation des graphes de groupes comme des graphes de Schreier "éclatés et écrasés".