Une des formes les plus classiques de la dualité de Howe est une théorème de type double centralisateur qui relie l'action de deux algèbres de Lie sur une algèbre de polynômes. Nous commencerons par expliciter cette dualité dans le cas spécifique de la paire $(\mathfrak{gl}_2,\mathfrak{gl}_n)$, et nous décrirons en particulier la décomposition de l'algèbre de polynômes en tant que bimodule. Ceci nous permettra ensuite d'étendre cette dualité à une situation où les représentations de dimension finie de $\mathfrak{gl}_2$ sont remplacées par des modules de dimension infinie, les modules de Verma. De manière surprenante, l'autre côté de la dualité quitte le monde des représentations de plus haut ou de plus bas poids.
Dans un dernier temps, nous expliquerons comment utiliser une version quantifiée de ces résultats pour étudier les représentations de Lawrence-Krammer-Bigelow des groupes de tresses.
Il s'agit d'un travail en commun avec D. Tubbenhauer et P. Vaz.
