Aspects métriques des germes d'espaces analytiques et géométrie logarithmique

par Anne Pichon

vendredi 31 mai 2024, 11:15 → 12:15 Europe/Paris

112 (ICJ)

Soit $(X,0)\subset ({\mathbb{C}}^n,0)$ un germe d'ensemble analytique complexe. Pour tout $ϵ>0$ suffisamment petit, l'intersection de $X$ avec la sphère $S_{ϵ}^{2n-1}$ de rayon $ϵ$ autour de $0$ est transverse, et $X$ est localement "topologiquement conique", c'est-à-dire homéomorphe au cône sur son $\mathit{\text{l}}ink$ $L_{ϵ}=X\cap S_{ϵ}^{2n-1}$. Cependant, en général, il n'est pas métriquement conique : il existe des parties du $\mathit{l}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{k}$ $L_{ϵ}$ avec une topologie non triviale qui se contractent plus vite que linéairement lorsque $ϵ$ tend vers $0$. Un problème naturel est alors la classification des germes à homéomorphisme bi-Lipschitz local près;  la $\mathit{g}\mathit{é}\mathit{o}\mathit{m}\mathit{é}\mathit{t}\mathit{r}\mathit{i}\mathit{e}\mathit{L}\mathit{i}\mathit{p}\mathit{s}\mathit{c}\mathit{h}\mathit{i}\mathit{t}\mathit{z}$ d'un germe d'espace singulier est sa classe d'équivalence dans cette catégorie.

Il existe différentes approches pour ce problème en fonction du choix de la métrique. Un germe $(X,0)$ a en fait  deux métriques naturelles induites à partir de n'importe quelle plongement dans $C^n$ par la métrique euclidienne standard : la métrique dite $\mathit{e}\mathit{x}\mathit{t}\mathit{e}\mathit{r}\mathit{n}\mathit{e}$ est définie par la restriction de la distance euclidienne, tandis que la métrique $\mathit{i}\mathit{n}\mathit{t}\mathit{e}\mathit{r}\mathit{n}\mathit{e}$ est définie par l'infimum des longueurs des chemins dans $V$.

Je donnerai une présentation introductive au sujet et présenterai une approche récente sur ces classifications Lipschitz en petite dimension (courbes et surfaces complexes) bas\'ee sur des outils naturels de  géométrie non-archimédienne et logarithmique.