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v3.2.9
Soit $(X,0) \subset (\mathbb{C}^n,0)$ un germe d'ensemble analytique complexe. Pour tout $\epsilon>0$ suffisamment petit, l'intersection de $X$ avec la sphère $S^{2n-1}_\epsilon$ de rayon $\epsilon$ autour de $0$ est transverse, et $X$ est localement "topologiquement conique", c'est-à-dire homéomorphe au cône sur son ${\textit link}$ $L_{\epsilon}=X\cap S^{2n-1}_\epsilon$. Cependant, en général, il n'est pas métriquement conique : il existe des parties du ${\it link}$ $L_{\epsilon}$ avec une topologie non triviale qui se contractent plus vite que linéairement lorsque $\epsilon$ tend vers $0$. Un problème naturel est alors la classification des germes à homéomorphisme bi-Lipschitz local près; la ${\it géométrie Lipschitz}$ d'un germe d'espace singulier est sa classe d'équivalence dans cette catégorie.
Il existe différentes approches pour ce problème en fonction du choix de la métrique. Un germe $(X,0)$ a en fait deux métriques naturelles induites à partir de n'importe quelle plongement dans $C^n$ par la métrique euclidienne standard : la métrique dite ${\it externe}$ est définie par la restriction de la distance euclidienne, tandis que la métrique ${\it interne}$ est définie par l'infimum des longueurs des chemins dans $V$.
Je donnerai une présentation introductive au sujet et présenterai une approche récente sur ces classifications Lipschitz en petite dimension (courbes et surfaces complexes) bas\'ee sur des outils naturels de géométrie non-archimédienne et logarithmique.