On considère des processus de naissance et mort qui finissent par s'éteindre avec une probabilité égale à 1 (finitude des ressources). Un résultat classique dit que si nous renormalisons un tel processus par un paramètre K et fixons un horizon de temps fini, alors les trajectoires renormalisées sont très proches des solutions d'une équation différentielle (système dynamique déterministe) avec une probabilité qui tend vers 1 quand K tend vers l'infini. Le champ de vecteurs correspondant est donné par la différence entre les taux de naissance et de mort. En particulier, la limite lorsqu’on fait tendre le temps vers l'infini ne commute pas avec la limite lorsque K tend l’infini.
Dans cet exposé, j'essaierai d'expliquer ce qui peut être dit lorsque le temps et K sont finis. Un objet central est la distribution dite quasi-stationnaire qui joue le rôle d'une distribution stationnaire (qui dépend de K) lorsqu'elle est conditionnée par la non-extinction. Un autre objet est le temps moyen d’extinction (qui dépend lui aussi de K). Enfin, j'aborderai , si le temps le permet, la question suivante. En observant une réalisation du processus renormalisé, pouvons-nous déterminer ce que l'on appelle la résilience ? Pour répondre à cette question, nous avons établi deux relations, inspirées de la physique statistique hors équilibre, qui mêlent la résilience, qui est une quantité macroscopique définie pour le système dynamique, et les fluctuations du processus, qui sont des quantités microscopiques.
