La dimension conforme est un invariant d’un espace métrique. Les groupes auto-similaires contractants sont des groupes qui peuvent êtres définis par un automate réversible fini. Les constructions classiques de groupes de croissance intermédiaire (Grigorchuk) sont de ce type. Ces groupes apparaissent naturellement comme groupes de monodromie itérée de certains systèmes dynamiques (non-inversibles) dilatants, tels que certaines fonctions rationnelle complexes. Réciproquement, à tout groupe auto-similaire contractant on peut associer un système dynamique agissant sur un espace limite (dans le cas du groupe de monodromie itérée d’une fonction rationnelle, cette construction retrouve l’ensemble de Julia de la fonction). Un espace muni d’une application dilatante est muni d’une structure quasi-conforme canonique, et on peut donc parler de sa dimension conforme. Une question bien connue dans le domaine est de savoir si tout groupe auto-similaire contractant est moyennable. Dans un travail en commun avec V. Nekrashevych et T. Zheng, nous montrons que si la dimension conforme de l’espace limite associé au groupe est inférieure à 2, alors le groupe est moyennable. En fait, il satisfait une forme forte de moyennabilité: la propriété de Liouville pour les marches aléatoires (l’absence de fonctions harmonique bornées non-constantes sur le graphe de Cayley). Ce critère retrouve de façon unifiée tous les résultats précédemment connus concernant cette question, et implique une réponse affirmative dans les case des groupes de monodromie itérée des fonctions rationnelles hyperboliques.
