Le problème d’Abel consiste à déterminer les équations linéaires différentielles homogènes d’ordre 1, à coefficient une fonction algébrique, qui admettent une solution algébrique non nulle. Étant donnée une telle équation, Risch a élaboré une méthode algébrique pour déterminer en temps fini si une solution algébrique non nulle existe. Je donnerai une caractérisation arithmétique du problème d’Abel à l’aide des congruences de Gauss dans le cas où le coefficient de l’équation admet un développement de Puiseux à coefficients rationnels. Ce critère permet de résoudre entièrement le cas hypergéométrique et confirme une prédiction de Golyshev issue de la théorie des motifs. Ce travail est en commun avec T. Rivoal.
