On s'intéresse, dans un espace métrique, aux ensembles aléatoires qui ont la propriété de rencontrer presque sûrement tout compact de capacité non nulle pour un potentiel donné. Cette propriété implique une minoration a priori de la taille de l'ensemble aléatoire, et même de son intersection avec n'importe quel ensemble déterministe. Elle est également liée à la propriété de grande intersection de Falconer. On considèrera l'exemple d'ensembles s'écrivant comme des limsup de boules aléatoires, et on montrera que la dimension de ces ensembles est liée aux propriétés multifractales d'une mesure d'intensité sous-jacente. Cela permettra de faire le lien avec des problèmes de recouvrements aléatoires comme celui de Dvoretzky, et avec l'approximation diophantienne dynamique.
