Sur le corps des nombres complexes, le nombre de solutions aux problèmes énumératifs ne dépend pas de cas particuliers mais uniquement du cas générique: le nombre de solutions d'un système polynomial, le nombre des droites d'une surface cubique, le nombre des courbes qui passent par des points fixes, etc.
Sur le corps des nombres réels, on n'a plus cette invariance. Néanmoins, le comptage signé peut entraîner des invariants numériques: règle des signes de Descartes, le théorème de Poincaré-Hopf, les invariants de Welschinger.
Comme certain de ces problèmes ont une nature géométrique, on peut se poser la même question sur n'importe quel corps. La théorie de l'homotopie motivique nous permet d'établir des invariants pour des corps de base arbitraires. Ce qui peut entraîner des informations arithmétiques ou géométriques supplémentaires.
Le but de cet exposé est d'illustrer une notion généralisée de signe qui nous permet d'établir des versions motiviques des problèmes classiques: le nombre des droites d'une surface cubique, le théorème de Bézout, les invariants algébriques de Gromov-Witten et les invariants de Welschinger.
