Les groupes hyperboliques au sens de Gromov ont des propriétés de finitude
tout à fait remarquables, par exemple ceux qui sont sans torsion sont des
groupes fondamentaux de complexes finis dont le revêtement universel est
contractile (propriété~$F$). Nous mettrons dans cet exposé en évidence que
leurs sous-groupes peuvent avoir des propriétés de finitude \og exotiques\fg :
il existe des groupes hyperboliques contenant des sous-groupes finiment engendrés ayant
des propriétés de finitude intermédaires (Llosa Isenrich et Py) ; il existe
des groupes hyperboliques contenant des sous-groupes finiment engendrés ayant la
propriété~$F$ mais n'étant pas eux-même hyperboliques (Italiano, Martelli et Migliorini). Ceci répond à des
questions anciennes à propos des groupes hyperboliques et de leurs
sous-groupes. Les deux résultats évoqués proviennent de constructions de
fibrations, le premier en géométrie complexe et le second en géométrie
hyperbolique. Nous en détaillerons les grandes lignes.
