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v3.2.9
Soit $\mathcal{C}$ une courbe projective lisse géométriquement intègre sur un corps $\mathbb{F}$. Si $S$ est un ensemble fini de points fermés, on peut considérer l'anneau d'entiers des fonctions régulières sur $\mathcal{C}$ hors de $S$, noté $\mathcal{O}_S$. L'enjeu de la théorie des groupes $S$-arithmétiques est de comprendre la structure et les propriétés des groupes $\mathbf{G}(\mathcal{O}_S)$ pour un schéma en groupes $\mathbf{G}$.
Dans cet exposé, en adaptant des techniques que Mason a utilisé sur l'arbre de $\mathrm{SL}_2$, nous verrons qu'il subsiste, dans l'espace des orbites pour l'action d'un sous-groupe $S=\{P\}$-arithmétique d'un groupe réductif déployé sur son immeuble de Bruhat-Tits associé, un certain nombre de quartiers de l'immeuble en lien avec le groupe de Picard de $\mathcal{O}_{S}$. Ceci permet de retrouver certains résultats dus à Serre, ou à Soulé. Nous nous intéresserons alors à quelques conséquence de ces techniques, par exemple aux classes de conjugaisons de sous-groupes unipotents maximaux.