Sur l’inégalité isopérimétrique quantitative dans le plan

par Gisella Croce (Université Paris 1)

mardi 23 janv. 2024, 14:00 → 15:00 Europe/Paris

Fokko du Cloux (Bâtiment Braconnier, La Doua)

Ce séminaire portera sur l’étude de la stabilité de la boule comme solution de l’inégalité isopérimétrique classique dans le plan. Si Ω est un ouvert borné, nous étudierons des inégalités de type δ(Ω) ≥ Cd2(Ω, B), o`u δ(Ω) est le déficit isopérimétrique (différence entre le périmètre de Ω et le périmètre de la boule de même mesure), d(Ω, B) est une distance, à définir, entre Ω et la boule de même mesure et C est une constante indépendante de Ω.
Nous considérerons d’abord l’asymétrie de Fraenkel comme distance. Cette dernière quantité est définie par le minimum, fait sur toutes les boules d’aire égale à celle de Ω, de l’aire de la différence symétrique entre Ω et une telle boule. Nous chercherons `a minimiser le rapport δ(Ω)/λ2(Ω) et montrerons l’existence d’un ensemble optimal. Dans un deuxième temps, nous remplacerons l’asymétrie de Fraenkel par l’asymétrie barycentrique λG(Ω), qui est l’aire de la différence symétrique entre un ensemble Ω et la boule de même
aire centrée en le centre de gravit´e de Ω. Dans ce cas nous montrerons l’existence d’un ensemble optimal parmi les ensembles convexes.
Les travaux expos´es sont en collaboration avec Chiara Bianchini et Antoine Henrot