La hauteur d’un nombre algébrique, introduite dans les années 50 par Northcott et Weil, est une fonction positive qui mesure la « complexité arithmétique » du nombre. Alors que les nombres de hauteurs 0 sont complètement classifiés par un théorème de Kronecker, de nombreuses questions restent ouvertes sur les nombres de hauteur petite mais pas nulle.
L'une des questions que j'aborderai est, par exemple : étant donnée une extension algébrique K des rationnels, est-ce qu’elle contient qu’un nombre fini d’éléments de hauteur bornée ? Quand, pour chaque borne possible, la réponse est ‘oui’ on dit que K a la propriété (N) de Northcott. Cette propriété a été introduite en 2001 par Bombieri et Zannier, puis étudiée par divers auteurs.
Alors qu'un célèbre résultat de Northcott implique que tout corps de nombres possède la propriété (N), déterminer sa validité pour les extensions infinies des rationnels est généralement une tâche difficile. Dans cet exposé, je dresserai un panorama de ce qui est connu sur ce problème et présenterai de nouveaux résultats obtenus dans le cadre de projets communs avec Arno Fehm et, plus récemment, avec Gabriel A. Dill.
