Une nouvelle inégalité en transport optimal et ses applications aux EDP d'évolution

par Filippo Santambrogio (Laboratoire de Mathématiques d'Orsay, Université Paris-Sud)

mardi 15 mars 2016, 14:00 → 15:00 Europe/Paris

Fokko Du Cloux (Bâtiment Braconnier)

Je présenterai une inégalité aussi générale qu'inattendue concernant le transport optimal: si f et g sont deux densités lisses de probabilité,  φ et ψ les potentiels de Kantorovich (pour le coût quadratique |x-y|^2) associés au transport de f à g, et H est une fonction convexe quelconque, alors on a ∫⟨Df,DH(Dφ)⟩ + ⟨Dg,DH(Dψ)⟩ ≥ 0. On pourrait l'appeler "inégalité des cinq gradients" (I5G). Cette inégalité (obtenue en collaboration avec G. De Philippis, A. Mészáros et B. Velichkov pour une application aux mouvements de foule) a plusieurs applications intéressantes dans la discrétisation temporelle (schéma de Jordan-Kinderlehrer-Otto) des EDP obtenues comme flot-gradient d'une énergie par rapport à la distance W_2 induite par le transport optimal. Par exemple, elle permet de retrouver la décroissance en temps de la variation totale le long des trajectoires des équations de type milieux poreux, mais également la décroissance exponentielle des quantités ∫|D(ρ/ρ_∞)|ρ_∞ de la solution d'une équation de Fokker Plank avec potentiel convex V, ρ étant la solution et ρ_∞ la solution stationnaire ρ_∞=exp(-V). Ces derniers aspects sont étudiés en collaboration avec S. Di Marino, avec qui on cherche à généraliser ces estimations au cas de l'équation de Keller-Segel (où le potentiel V dépend de ρ elle même).