Les isolants topologiques sont des matériaux aux propriétés très intéressantes d'un point de vue physique : ils sont des isolants électriques à l'intérieur, tandis sur le bord, ils peuvent être caractérisés par la présence de courants stables. Ces propriétés sont spécifiques de la "phase topologique" du matériau, c'est-à-dire de sa classe d'équivalence par rapport aux déformations continues dans une topologie donnée. Cela signifie que de petites perturbations externes ou des irrégularités microscopiques du matériau, que nous pouvons considérer comme des déformations continues de l'isolant, n'affecteront pas les propriétés physiques intrinsèques de la phase.
Dans cet exposé, je vais introduire (pour un publique de mathématiciens) les éléments de la physique du solides nécessaire pour décrire ces matériaux aux propriétés exotiques et les problèmes mathématiques qui émergent dans ce domaine. Enfin, on verra comment la $K$-theorie pour les $C^*$-algèbres se révèle un outil très utile et naturel pour classifier les isolants topologiques.
