Maximisation des valeurs propres Neumann

par Dorin Bucur (Université Savoie Mont-Blanc)

mardi 28 nov. 2023, 15:15 → 16:15 Europe/Paris

Fokko du Cloux (Bâtiment Braconnier, La Doua)

Nous nous intéressons à la maximisation de la k-ième valeur propre du Laplacien avec des conditions aux bord de Neumann parmi les domaines de $R^N$ avec une mesure prescrite. Nous relaxons le problème dans la classe des densités (éventuellement dégénérées) avec une masse prescrite et prouvons l'existence d'une densité optimale. Pour k=1,2, les deux problèmes sont équivalents et les maximiseurs sont respectivement  une et deux boules de la même mesure. Pour k≥3 cette question reste ouverte, sauf en dimension 1 d'espace où l'on démontre que les densités maximales correspondent à une union de k segments égaux. Des résultats numériques donnent une idée des densités optimales pour  k=3,…,8 en $R^2$ et laissent penser que pour $k\geq 3$ il y a une vraie relaxation dans la classe des densités. Dans la mesure tu temps restant, je vais discuter le même problème sur les sphères euclidiennes, où des phénomènes nouveaux apparaissent. Ces travaux sont en collaboration avec E. Martinet, M. Nahon et E. Oudet.