Cette thèse traite de l'étude de méthodes de régression dites ''à noyau'', construites spécifiquement pour résoudre des problèmes contrôlés par des équations aux dérivées partielles (EDPs). Plus spécifiquement, la question que nous y abordons est celle du choix d'un noyau respectant les propriétés d'une EDP donnée, notamment du point de vue du processus aléatoire sous-jacent au noyau utilisé.
Il existe plusieurs façons de donner un sens à une EDP : formulation forte (ponctuelle), faible ou encore distributionnelle. Il peut en effet arriver, pour les EDPs hyperboliques notamment, qu'une solution physiquement pertinente ne soit pas différentiable ni même continue. De telles formulations affaiblies peuvent permettre l'étude d'une telle solution, là où une formulation ponctuelle de l'EDP perd son sens.
Dans la conception d'une méthode à noyau visant à construire une approximation d'une solution d'une EDP donnée, il devient alors pertinent d'utiliser les outils mathématiques associés à ces formulations affaiblies, comme le langage des distributions ou la régularité de type Sobolev. Dans la formulation statistique des méthodes à noyaux, ces notions mathématiques doivent être utilisées et imposées au niveau des trajectoires du processus gaussien associé au noyau.
Ainsi, dans une première partie théorique, nous donnons une caractérisation nécessaire et suffisante pour que les trajectoires d'un processus aléatoire général d'ordre deux vérifient une EDP linéaire homogène donnée, au sens des distributions. Étant donnés un entier $m$ et un réel $p>1$, nous décrivons ensuite plusieurs caractérisations nécessaires et suffisantes pour que les trajectoires d'un processus gaussien centré possèdent une régularité Sobolev $W^{m,p}$, presque sûrement. Toutes ces caractérisations sont formulées uniquement en terme des deux premiers moments du processus; certaines d'entre elles sont relativement faciles à appliquer en pratique. Les cadres théoriques correspondants sont choisis de façon à être les plus généraux possible, en évitant toute hypothèse de continuité non nécessaire.
Nous décrivons ensuite quelques fonctions de covariance adaptées à l'équation des ondes (au sens de nos résultats précédents) en trois dimensions. Ces dernières sont ensuite utilisées pour estimer les paramètres physiques de l'équation ainsi que ses conditions initiales, étant donné une base de données d'observations de la solution issues de quelques capteurs ponctuelles.
Enfin, nous montrons comment des schémas numériques de type différences finies pour l'équation d'advection peuvent être obtenus à l'aide d'une régression à noyau basée sur une fonction de covariance adaptée à cette EDP. Certains schémas classiques sont retrouvés et de nouveaux sont proposés. Une première étude théorique et numérique de ces schémas est décrite.
