Analyse et développement de schémas Volumes Finis asymptotiquement préservants dans la limite bas-Mach pour les équations d'Euler et de Navier-Stokes

par Mme Paola Allegrini (Insitut de Mathématiques de Toulouse)

mercredi 20 sept. 2023, 15:00 → 18:00 Europe/Paris

Amphithéâtre Laurent Schwartz, bâtiment 1R3 (Institut de Mathématiques de Toulouse)

Dans cette thèse, nous développons et étudions des schémas asymptotiquement préservants (AP) pour les équations d’Euler complet et de Navier-Stokes dans le régime des faibles nombres de Mach. Pour les écoulements subsoniques, les ondes acoustiques sont très rapides par rapport à la vitesse du fluide. D’un point de vue numérique, lorsque le nombre de Mach tend vers zéro, les schémas classiques explicites présentent deux inconvénients majeurs : ils ne sont pas consistants à la limite et imposent une contrainte très restrictive sur le pas de temps pour garantir la stabilité du schéma, car ils doivent suivre les ondes acoustiques rapides.

Nous proposons un nouveau schéma linéaire asymptotiquement préservant, avec une condition de type C.F.L. indépendante du nombre de Mach, et asymptotiquement consistent, c'est-à-dire qu'il donne une discrétisation du modèle limite lorsque le nombre de Mach est suffisamment petit. De plus, pour les équations de Navier-Stokes, nous choisissons une discrétisation implicite des termes de diffusion, ce qui nous permet d'utiliser de plus grands pas de temps dans les régimes fortement visqueux aussi.

Ce type de schéma a été largement étudié dans la littérature, en particulier pour le cas isentropique, mais aussi pour le système d'Euler complet ou de Navier-Stokes avec différentes méthodes. Dans ce travail, nous proposons d’abord un schéma AP d’ordre 1 basé sur une discrétisation IMEX (Implicite-Explicite) en temps et volumes finis colocalisés en l'espace. Une extension d’ordre 2 est également proposée avec l'utilisation d'une procédure MOOD pour détecter et réduire les oscillations apparaissant classiquement avec les schémas d'ordre élevé.