Observabilité optimale en temps grand de l’équation de la chaleur

par Yannick Privat (Université de Lorraine)

mardi 17 oct. 2023, 15:15 → 16:15 Europe/Paris

Fokko du Cloux (Bâtiment Braconnier, La Doua)

Il est bien connu que la reconstruction d'une donnée initiale associée à une équation parabolique à partir de mesures internes de sa solution pendant un temps T, sur un domaine appelé domaine d'observation équivaut à la question de l'observabilité, ou plus précisément à la positivité de ce qu'on appelle la constante d'observabilité. Cette constante dépend du domaine d'observation mais aussi de façon cruciale de l'horizon temporel T. 

Dans cet exposé, nous nous intéressons aux domaines extrémaux (lorsqu'ils existent) qui maximisent cette constante d'observabilité. Afin de modéliser une contrainte de manufacture, nous imposons une restriction sur la mesure du domaine observé. 
Après avoir introduit une relaxation convexe du problème d'optimisation de la forme, nous déterminons le comportement asymptotique des maximiseurs en temps grand. En utilisant un principe de la baignoire précisé, nous prouvons la forte convergence des maximiseurs vers la fonction caractéristique d'un ensemble mesurable que nous caractérisons précisément. Nous montrons en outre que cette convergence est exponentielle.

Il s’agit d’un travail en collaboration avec Idriss Mazari (univ. Paris Dauphine) et Emmanuel Trélat (Sorbonne univ.)