L'inégalité de Li-Yau, prouvée par Li et Yau assure que si $f$ est une fonction positive sur $\mathbb{R}^n$ alors pour tout $t>0$ :
$-\Delta \log P_tf \leq \frac{n}{2t}$,
où $(P_t)_{t \geq 0}$ désigne le semi-groupe de la chaleur. Cette inégalité a depuis été démontrée dans de nombreux contextes. D'un autre côté les interpolations entropiques sont des courbes sur l'espace des mesures de probabilités d'un espace donné, solution d'un problème de minimisation entropique avec deux marginales prescrites (le problème de Schrödinger).
Dans cet exposé nous verrons comment les interpolations entropiques permettent d'obtenir une interprétation variationnelle intéressante de l'inégalité de Li-Yau.
