Les fonctions multiplicatives aléatoires sur les petits intervalles et applications concernant les sommes de caractères

par Rachid Caich (IMJ-PRG, Université Paris Cité, Paris)

lundi 18 mars 2024, 14:00 → 15:00 Europe/Paris

Salle Grisvard, IHP, Paris

Nous examinons les conditions sous lesquelles la somme de fonctions multiplicatives aléatoires dans les petits intervalles de la forme $(x, x+y]$ suscite le phénomène d'annulation. Grâce à l'utilisation des techniques issues du chaos multiplicatif gaussien, nous établissons que le point de changement de phase est $\log\big(\frac{x}{y}\big) \approx \sqrt{\log\log x}$. En modélisant les caractères par des fonctions multiplicatives aléatoires, nous établissons une borne supérieure de $$\frac{1}{r-1}\sum_{\chi \bmod r} \big|\sum_{x < n \leqslant x+y}\chi(n)\big|,$$ où $r$ est un nombre premier assez grand et $x+y \leqslant r$. Cela étend le résultat de Harper aux petits intervalles.