Zéros de combinaisons linéaires de fonctions L de Dirichlet sur la droite critique

by Jeremy Dousselin (Université de Lorraine, Nancy)

Monday Jan 15, 2024, 3:30 PM → 4:30 PM Europe/Paris

Salle Grisvard, IHP, Paris

Soient $N \geq 1$ et $\chi_1, ..., \chi_N$ des caractères de Dirichlet primitifs, pairs et deux à deux distincts de
conducteur $q_1, ..., q_N$ respectivement. Posons 

$$ F(s) := \sum_{1 \leq j \leq N}  c_j \varepsilon_j q_j^{s/2} L(s, \chi_j)$$

où les $\varepsilon_j$ sont des complexes de module 1 tels que $F$ satisfasse à une équation fonctionnelle et les
$c_j$ sont dans $\mathbb{R}^*$. Nous séparons les zéros de $F$ en deux catégories : des zéros dits triviaux, impliqués
par cette équation fonctionnelle, et des zéros dits non-triviaux, confinés dans une bande verticale $V$.
Nous notons $N(T)$ le nombre de zéros de $F$ dans le rectangle $\left\{z ∈ V | Im(z) \in [0, T]\right\}$ et $N_0(T)$ le nombre de ces zéros sur la droite critique.

À la fin des années 90, Selberg donna les grandes lignes d'un raisonnement prouvant qu'une proportion positive de zéros non-triviaux de $F$ sont sur la droite critique, en établissant que

$$ K_F := liminf_T (N_0(2T) - N_0(T)) / (N(2T) - N(T)) \geq c N^{-2}$$   pour un $c$ positif.

Nous nous proposons d'améliorer et d'expliciter cette minoration, en démontrant en particulier que

$$ K_F \geq 2.16 10^{-6} / N \log N $$

pour tout $N$ assez grand.