Zéros de combinaisons linéaires de fonctions L de Dirichlet sur la droite critique

par Jeremy Dousselin (Université de Lorraine, Nancy)

lundi 15 janv. 2024, 15:30 → 16:30 Europe/Paris

Salle Grisvard, IHP, Paris

Soient $N\ge 1$ et ${\chi }_1,...,{\chi }_N$ des caractères de Dirichlet primitifs, pairs et deux à deux distincts de
conducteur $q_1,...,q_N$ respectivement. Posons 

$$F(s):=\sum _{1\le j\le N}{c}_j{\epsilon }_j{q}_j^{s/2}L(s,{\chi }_j)$$

où les ${\epsilon }_j$ sont des complexes de module 1 tels que $F$ satisfasse à une équation fonctionnelle et les
$c_j$ sont dans ${\mathbb{R}}^{\ast }$. Nous séparons les zéros de $F$ en deux catégories : des zéros dits triviaux, impliqués
par cette équation fonctionnelle, et des zéros dits non-triviaux, confinés dans une bande verticale $V$.
Nous notons $N(T)$ le nombre de zéros de $F$ dans le rectangle $\{z\in V|Im(z)\in [0,T]\}$ et $N_0(T)$ le nombre de ces zéros sur la droite critique.

À la fin des années 90, Selberg donna les grandes lignes d'un raisonnement prouvant qu'une proportion positive de zéros non-triviaux de $F$ sont sur la droite critique, en établissant que

$$K_F:=limin{f}_T(N_0(2T)-N_0(T))/(N(2T)-N(T))\ge c{N}^{-2}$$   pour un $c$ positif.

Nous nous proposons d'améliorer et d'expliciter cette minoration, en démontrant en particulier que

$$K_F\ge 2.16{10}^{-6}/N\log N$$

pour tout $N$ assez grand.