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v3.2.9
La cohomologie de Hochschild $HH^\ast(A)$ d'une algèbre
différentielle graduée $A$ est un objet possédant des structures
algébriques variées. Cette cohomologie est munie d'une multiplication
et d'un crochet de Lie qui sont compatibles, on dit que c'est une
algèbre de Gerstenhaber. Par ailleurs, elle peut être enrichie en une
algèbre de Batalin-Vilkovisky lorsque $A$ vérifie une certaine forme
de symétrie. Par exemple, Luc Menichi montre que $HH^\ast(C^\ast(M))$,
la cohomologie de Hochschild du complexe des cochaînes singulières
d'une variété $M$ lisse, compacte, simplement connexe et orientée, est
une algèbre de Batalin-Vilkovisky. Le but de cet exposé est de
présenter une nouvelle preuve de ce résultat à l'aide de la théorie
des opérades et sans supposer que $M$ soit simplement connexe. On
espère pouvoir généraliser cette preuve aux espaces possédant des
singularités.
On commencera cette présentation en donnant les principales idées de
la preuve due à Menichi. On présentera ensuite quelques notions de la
théorie des opérades qu'on utilisera dans la dernière partie pour
prouver le résultat annoncé.