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Il est connu depuis les travaux d'Atiyah--Guillemin--Sternberg qu'il existe une bijection entre les polytopes de Delzant dans R^n et les variétés toriques polarisées (X,L) de dimension n. Cette correspondance a été généralisée dans une direction via les corps d'Okounkov, introduits par Lazarsfeld--Mustata et Kaveh--Khovanskii, associant un corps convexe canonique à n'importe quelle paire projective (X,L) sans supposer la présence d'une action de groupe. De plus, le volume du corps convexe obtenu capture le volume du fibré en droites L. Dans un travail récent en collaboration avec Darvas, Witt Nyström, Xia et Zhang, nous prouvons une conjecture qui visait à généraliser cette construction dans le cas d'une classe de cohomologie transcendante sur une variété kählérienne. Je présenterai dans cet exposé les idées sous-jacentes à la construction des corps d'Okounkov en général, et explique brièvement notre preuve. Si le temps le permet, j'expliquerai également une nouvelle interprétation géométrique de ces corps convexes en termes de polytopes moment associés à des dégénérescences toriques.