Rendre effectif le théorème Pourchet : décomposer un polynôme univarié positif à coefficients rationnels comme somme de cinq carrés

par Dr Tristan Vaccon (Université de Limoges)

jeudi 6 juil. 2023, 11:30 → 12:00 Europe/Paris

XR203 (XLIM)

Il est bien connu que tout entier positif peut être décomposé comme somme de quatre carrés d'entiers ou que tout polynôme univarié positif à coefficients réels peut être décomposé comme somme de deux carrés de polynômes.

En 1971, Pourchet a prouvé que tout polynôme univarié positif à coefficients rationnels est une somme de cinq carrés de polynômes rationnels. La preuve repose sur des techniques de type local-global et n'est pas effective.
 

 

Dans un travail commun avec Victor Magron (CNRS LAAS et IMT) et Przemysław Koprowski (University of Silesia in Katowice), nous avons étudié comment calculer algorithmiquement une telle décomposition.

Nous avons prouvé un algorithme qui calcule une décomposition d'un polynôme univarié positif à coefficients rationnels comme somme de six carrés.

Sa complexité s'exprime polynomialement en termes de fonctions classiques de théorie algorithmique des nombres (factorisation, calcul du groupe des unités d'un corps de nombres).