Le jury sera composé de:
-Mme Xinxin Chen (Beijing Normal University), Directrice de thèse
-M. Cyril Labbé (Université Paris Cité), Rapporteur
-M. Pascal Maillard (Université de Toulouse)
-Mme Silke Rolles (Technische Universität München), Rapporteuse
-M. Christophe Sabot (Université Claude Bernard Lyon 1), Directeur de thèse
-Mme Marielle Simon (Université Claude Bernard Lyon 1)
-M. Pierre Tarrès (CNRS Paris)
Voici un bref résumé :
Cette thèse étudie plusieurs questions assez différentes. La première porte sur la limite des marches branchantes partant d'un processus ponctuel. Si on se donne un processus de Poisson et qu'on attache des marches branchantes à chaque atome du processus de Poisson, on obtient une suite de processus ponctuels. On peut alors se demander si cette suite de processus ponctuels a une limite. C'est la problème de convergence. Par ailleurs la loi de ce processus ponctuel limite est une mesure invariante pour le branchement. On peut alors se demander quelles sont toutes les mesures invariantes. C'est la problème de la caractérisation. Nous avons résolu ces deux questions sous des hypothèses assez générales lorsque la dimension de l'espace sous-jacent est supérieure à une certaine dimension critique.
Une autre partie de cette thèse porte sur l'étude des processus aléatoires renforcés. Nous nous focalisons principalement sur le Vertex Reinforced Jump Process (VRJP), un processus renforcé défini sur un graphe et dont le renforcement dépend d'un paramètre de W. Dans le cas des arbres, il est connu que le VRJP présente une transition de phase entre récurrence et transience. En utilisant les marches branchantes comme un outil, j'ai pu donner quelques propriétés fines du VRJP sur les arbres et d'une martingale qui lui est associée dans la phase récurrente et dans la phase transiente. Le VRJP sur Z^d a été également beaucoup étudié par le passé et nous savons maintenant que pour tout entier d supérieur ou égal à 3, il existe une unique valeur W_c telle que le VRJP est récurrent sur Z^d si W est inférieur à W_c et transient sur Z^d si W est supérieur à W_c. Un pas important afin de prouver ce résultat fut accompli par Sabot, Tarrès et Zeng qui ont montré que le comportement du VRJP est profondément lié à un potentiel aléatoire ß et à un opérateur de Schrödinger aléatoire H_ß. Dans ma thèse, j'ai étudié les propriétés spectrales de H_ß. J'ai notamment montré que l'on pouvait retrouver une transition de phase en fonction de W sur les propriétés de la densité d'états de H_ß. J'ai également construit une version continue en espace de l'opérateur H_ß sur le cercle et j'ai calculé sa densité d'états asymptotique.
Enfin, une partie de cette thèse porte sur les propriétés de Matsumoto-Yor qui sont de surprenantes et jolies propriétés de conditionnement de certaines fonctionnelles exponentielles du mouvement brownien. Le potentiel ß permet de construire une version discrète des propriétés de Matsumoto-Yor sur N. En considérant une bonne limite d'échelle, il est possible de retrouver les propriétés de Matsumoto-Yor sur R_+. Enfin, en poursuivant un travail de Gérard, Sabot et Zeng, j'ai également montré dans cette thèse que le potentiel ß permet de construire une version multidimensionnelle des propriétés de Matsumoto-Yor.
