Equations d'agrégation-diffusion : asymptotiques et approximations

par M. Sébastien Tran Tien

lundi 3 juil. 2023, 14:00 → 15:00 Europe/Paris

Salle Fokko du Cloux

Le jury sera composé de :

— Vincent Calvez, examinateur 

— Francis Filbet, rapporteur 

— Frédéric Lagoutière, directeur de thèse 

— Sepideh Mirrahimi, examinatrice 

— Magali Ribot, rapporteure 

— Filippo Santambrogio, examinateur 

— Ariane Trescases, examinatrice

 

La soutenance durera environ cinquante minutes, en français, suivi de questions du jury et d'un pot. Elle sera retransmise sur Zoom via le lien suivant :

https://univ-lyon1-fr.zoom.us/j/81770030979
Meeting ID: 817 7003 0979

 

Résumé :

Cette thèse s'intéresse aux équations d’agrégation-diffusion, qui apparaissent dans la modélisation de mouvement collectifs. Nous nous étudions les solutions mesures de ces équations, qui sont connues pour développer des singularités en temps fini en l’absence de diffusion. Dans ce cadre, l’étude de l’existence globale de solutions est délicate et requiert une définition précise du champ de vitesse. La construction et l’analyse de schémas numériques doivent aussi prendre en compte la présence possible de masses de Dirac.

Dans le cadre non diffusif, nous donnons un cadre général à l’analyse de convergence de schémas de type volumes finis pour les solutions mesures. Nous montrons que des estimations de convergence peuvent être
obtenues dans certains cas en passant par l’équation de Burgers.

Nous nous intéressons ensuite à la limite de diffusion en dimension quelconque. Avec des arguments de transport optimal, nous montrons la convergence des solutions diffusives vers la solution de l’équation d’agrégation avec le bon champ de vitesse lorsque le coefficient de diffusion tend vers 0 ainsi que la convergence des états stationnaires vers le Dirac. Dans les deux cas, nous donnons des estimations de convergence en distance de Wasserstein.

Enfin, nous étudions un système de relaxation à la Jin-Xin pour l’équation d’agrégation unidimensionnelle pour lequel nous prouvons également des estimations de convergence lorsque le paramètre de relaxation tend vers 0. Nous proposons également deux schémas numériques dont nous montrons qu’ils préservent cette asymptotique.