Etude numérique et analytique de modèles issus des neurosciences et de la physique

par Alain Blaustein (Institut Mathématiques de Toulouse)

lundi 26 juin 2023, 13:45 → 17:00 Europe/Paris

Salle Katherine Johnson, bâtiment 1R3 (Institut de Mathématiques de Toulouse)

Cette thèse est consacrée à l'analyse théorique et numérique d'équations aux dérivées partielles issues de la théorie cinétique et des neurosciences.

 

D'une part, on étudiera le modèle de Vlasov-Poisson-Fokker-Planck qui décrit la distribution cinétique d'un nuage d'électrons sujet aux collisions avec un bain ionique ainsi qu'aux interactions coulombiennes entre particules chargées. Pour commencer, on se penchera sur le régime parabolique, dans lequel la distribution cinétique des électrons converge vers une distribution macroscopique. Nous  démontrerons des taux optimaux permettant de caractériser cette convergence. Puis, on complètera ce résultat théorique par l'analyse numérique du modèle. Dans un premier temps, nous proposerons une méthode numérique traitant le cas d'un champ électrique appliqué. Notre approche consistera à adapter au cadre discret les techniques d'hypocoercivité jusqu'alors classiques pour l'étude du modèle continu. Cela nous permettra de démontrer quantitativement que notre méthode reproduit le comportement du modèle continu dans le régime parabolique ainsi que sur des temps longs, uniformément par rapport aux paramètres de discrétisation. Enfin, nous proposerons une méthode permettant de traiter le couplage avec un champ électrique auto-consistant. Dans le cas d'un couplage linéaire, nous démontrerons des résultats similaires au cas du champ appliqué. Dans le cas d'un couplage non-linéaire, nous mènerons des simulations numériques variées visant à illustrer des phénomènes non-linéaires tels que l'écho plasma.

D'autre part, on se concentrera sur un modèle de type champ moyen décrivant la distribution des potentiels membranaires dans un réseau neuronal de FitzHugh-Nagumo. On proposera des méthodes permettant de caractériser quantitativement le comportement du réseau lorsque les interactions entre neurones proches sont intenses. Plus précisément, on montrera que dans ce régime, les neurones voisins tendent à aligner leur potentiel de membrane, conduisant à la concentration de la distribution des potentiels en chaque point d'espace. Nous caractériserons le profil de concentration de la distribution des potentiels en suivant trois méthodes. La première nous permettra d'obtenir un résultat de convergence faible, la seconde un résultat de convergence forte et la dernière un résultat de convergence uniforme. On attachera une attention particulière au caractère quantitatif de nos résultats et on discutera leur optimalité en comparant ces différentes approches.