Métriques spéciales sur les variétés complexes compactes et leurs déformations holomorphes

par M. Erfan Soheil (Institut de Mathématiques de Toulouse)

lundi 19 juin 2023, 09:30 → 12:30 Europe/Paris

Amphithéâtre Laurent Schwartz, bâtiment 1R3 (Institut de Mathématiques de Toulouse)

Dans cette thèse, nous étudions l'existence de métriques particulières sur les variétés complexes compactes. Nous nous intéressons particulièrement aux métriques localement conformément kählériennes (lcK) et hermitiennes-symplectiques (H-S).

La thèse se compose de deux parties. Dans la première partie, nous approfondissons l'étude des points critiques de la fonctionnelle d'énergie $F$, introduite par S. Dinew et D. Popovici, dans des dimensions supérieures et sous des déformations de la structure complexe. Tout d'abord, nous démontrons que le fait d'être un point critique pour $F$ est une propriété fermée sous les déformations holomorphes. Ensuite, nous montrons que l'existence d'une métrique kählérienne dans la classe de cohomologie d'Aeppli d'une métrique H-S est une propriété ouverte sous déformation. 

Dans la deuxième partie, nous utilisons la méthode variationnelle présentée dans [1] et proposons une approche pour étudier le problème d'existence des métriques localement conformément kählériennes sur les variétés complexes compactes en introduisant et en étudiant une fonctionnelle, L, qui varie en fonction de la dimension complexe de la variété, que celle-ci soit égale à deux ou supérieure. Nous montrons que dans les dimensions $\ge 3$, les points critiques de L correspondent exactement aux métriques lcK. 


[1] S. Dinew, D. Popovici, A Generalized Volume Invariant for Aeppli Cohomology Classes of Hermitian-symplectic Metrics, Advances in Mathematics, Vol 393, 24, December (2021), 108056.