Construction combinatoire d'associateurs en genre supérieur

par Dr Adrien Brochier

mardi 12 mai 2026, 11:15 → 12:15 Europe/Paris

Les associateurs de Drinfeld sont des objets algébriques compliqués qui fournissent des représentations pro-unipotentes/perturbatives universelles des groupes (ou de la catégorie, ou de l'opérade,..) des tresses. Ils sont la pierre angulaire du lien remarquable qui existe entre topologie de basse dimension, quantification par déformation et théorie des représentations : ils fournissent une construction combinatoire de l'invariant de Vassiliev-Kontsevich des entrelacs, donnent une famille (conjecturalement complète) de relations algébriques entre les nombres multizeta, et sont responsables de tous les théorèmes difficiles d'existence de quantifications de structures de Poisson. Ils expliquent en particulier l'existence des groupes quantiques et des invariants d'entrelacs associés.

Dans cet exposé on expliquera une construction combinatoire de variantes en genre supérieure des associateurs : étant donnés un associateur et une surface S compacte, orientée, éventuellement à bord, cette construction produit une représentation perturbative universelle  de la catégorie des tresses sur S, dans une certaine catégorie de "diagrammes symplectiques" . Les ingrédients essentiels sont une certaine propriété d'excision satisfaite par les catégories de tresses sur les surfaces, ainsi qu'une quantification du procédé « d'exponentiation », une version combinatoire de la correspondance de Riemann--Hilbert qui apparaît dans les travaux d'Alekseev-Malkin-Meinrenken sur la structure de Poisson des variétés de caractères des surfaces. Dans le cas du tore on retrouve une formule découverte par Calaque-Enriquez-Etingof. Si le temps le permets on parlera de spécialisations et du lien avec des représentations similaires obtenues grace aux groupes quantiques.