Un thème central en géométrie kählérienne est la recherche de métriques canoniques, telles que les métriques de Kähler-Einstein ou à courbure scalaire constante. Dans cette quête, une approche variationnelle s'est révélée particulièrement fructueuse. Dans les années 1980, Mabuchi a introduit une fonctionnelle dont les points critiques correspondent précisément aux métriques recherchées, ouvrant ainsi la voie à une méthode analytique pour établir leur existence. Dans cette présentation, j’explorerai le parallèle avec le cas de dimension finie et offrirai un panorama de l’état de l’art, en mettant en lumière les avancées récentes dans ce domaine.
