Jean-François Babadjian : "Pénalisation de type courbure moyenne pour des modèles avec interface fortement anisotropes et approximation par champ de phase"

Dans cet exposé, je présenterai des résultats récents obtenus en collaboration avec Blanche Buet (LMO, Orsay) et Michaël Goldman (CMAP, Polytechnique) concernant les effets régularisants de termes de type courbure moyenne pour les modèles avec interface en présence d'anisotropie. Lorsque la tension superficielle est une fonction convexe de la normale, l'anisotropie est dite faible. Ceci assure généralement la semi-continuité inférieure de l'énergie associée. En revanche, si la tension superficielle dépend de la normale de manière non convexe, cette forte anisotropie peut engendrer des instabilités liées à l'absence de semi-continuité inférieure de la fonctionnelle. Nous étudions les effets régularisants de l'ajout d'un terme d'ordre supérieur de type Willmore à l'énergie. Nous considérons deux types de problèmes : une généralisation anisotrope non convexe du périmètre et une fonctionnelle aux discontinuités libres de Mumford-Shah, anisotrope non convexe. Dans les deux cas, nous établissons les propriétés de semi-continuité inférieure des énergies, ainsi qu'une approximation par Gamma-convergence par des modèles de champ de phase. L'un des aspects originaux de notre travail dans le cadre des problèmes à discontinuités libres est le traitement des énergies de points qui repose sur un résultat de type Gauss-Bonnet pour les varifolds.