Antoine Velut : "Géométrie à grande échelle des groupes de Lie"

mardi 16 déc. 2025, 09:45 → 11:25 Europe/Paris

On introduit ici le cadre et les motivations de la géométrie à grande échelle des groupes de Lie. On s'intéresse concrètement à leurs invariants de quasi-isométrie.

Le cône asymptotique d'un espace métrique, qui est "une image vue de l'infini" de cet espace, est un invariant nécessitant des outils techniques importants dans sa construction - les ultrafiltres -- mais qui permet de tester diverses propriétés de géométrie à grande échelle, notamment l'hyperbolicité au sens de Gromov.

Par ailleurs, le groupe fondamental du cône asymptotique est fortement relié à un autre invariant classique, la fonction de Dehn, qui mesure la difficulté de remplissage des lacets. Ce lien vient d'une caractérisation de la simple connexité de tous les cônes asymptotiques par une "propriété de division des lacets", qui elle ne dépend pas des ultrafiltres.

 

On verra que les groupes de Lie sont des espaces métriques naturels où appliquer ces invariants, une fois munis de distances invariantes à gauche venant soit de métriques riemanniennes soit de métriques de mots associées à des parties compactes génératrices. La souplesse de la géométrie à grande échelle, via le lemme de Milnor-Schwarz, nous assure que deux telles distances sont toujours quasi-isométriques.

Parmi ces groupes de Lie, deux classes orthogonales se distinguent. Les groupes semi-simples sont très étudiés et très rigides, avec une classification par des invariants discrets. Tandis que les groupes résolubles sont beaucoup plus souples, et apparaissent en classes continues d'isomorphisme. Du fait de cette flexibilité, les résultats de rigidité quasi-isométrique sur ces derniers sont rares et utilisent des invariants difficiles à calculer, comme par exemple la cohomologie L^p.