Le formalisme tannakien a d’abord été développé par l’école de Grothendieck pour les besoins de la théorie des motifs. L’idée principale est que se donner un groupe (algébrique affine sur un corps k, disons algébriquement clos) est essentiellement équivalent à se donner sa catégorie de représentations en tant que catégorie monoïdale symétrique, munie du foncteur d’oubli (dit foncteur fibre) vers la catégorie des espaces vectoriels : une catégorie pré-tannakienne (monoïdale symétrique, et vérifiant des conditions nécessaires naturelles) admettant un foncteur fibre est forcément équivalente à la catégorie des représentations du groupe des automorphismes tensoriels du foncteur fibre.
Dans le cas de la caractéristique 0, Deligne a montré en 1990 qu’une catégorie pré-tannakienne C admet un foncteur fibre (i.e. est tannakienne) si et seulement si tout objet a une puissance alternée qui est nulle. En 2002, il a montré un résultat plus général : si on suppose seulement que C est à croissance modérée (pour tout objet , la longueur de est sous-exponentielle), alors C a une sorte de foncteur fibre, non pas vers les espaces vectoriels a priori, mais vers les super espaces vectoriels (espaces vectoriels
Z/2Z-gradués).
L’extension de ces résultats au cas où k est de caractéristique p>0 a été un problème ouvert pendant une vingtaine d’années, mais de grands progrès ont été faits récemment. En particulier, Ostrik a identifié une catégorie de Verlinde Ver_p comme but naturel des foncteurs fibres en caractéristique . Plus récemment, Coulembier, Etingof et Ostrik ont donné une certaine réponse à notre question : ils ont caractérisé les catégories pré-tannakiennes admettant un foncteur tensoriel symétrique vers Ver_p comme celles qui sont Frobenius-exactes et de croissance modérée (cette dernière condition pouvant être remplacée par : tout objet est annulé par une puissance alternée). Un cas particulier, qui est aussi une étape importante dans la preuve, est une caractérisation des catégories tannakiennes en caractéristique p. Nous donnerons un aperçu de ces résultats, ainsi que des exemples d’applications aux représentations modulaires.
