Soit $f(t_1, ..., t_n)$ une série formelle en $n$ variables sur un corps $k$ de caractéristique positive. La diagonale de $f$, notée $Diag(f)$, est la série univariée obtenue en ne conservant que les termes "diagonaux" de $f$, c'est-à-dire les termes en $t^i$ avec $t = t_1\dots t_n$. Un théorème de Furstenberg affirme que si $f$ est algébrique sur le corps des fractions rationnelles $k(t_1, ..., t_n)$, alors $Diag(f)$ est algébrique sur $k(t)$. Dans cet exposé, j'expliquerai une nouvelle démonstration de ce théorème qui donne des bornes fines sur le degré d'algébricité de $Diag(f)$. Je discuterai également, dans le cas où $f$ est une série à coefficients entiers, comment quantifier la variation de l'algébricité de $Delta(f \mod p)$ en fonction de $p$. (Travail en commun avec Boris Adamczewski et Alin Bostan, d'une part, et avec Florian Fürnsinn, d'autre part.)
