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v3.2.9
Titre: Non-squeezing de contact à large échelle via les fonctions génératrices
Résumé: Le célèbre théorème de non-squeezing de Gromov en topologie symplectique semblerait à première vue ne pas avoir d'analogue possible en topologie de contact : en effet, les contactomorphismes en général ne préservent pas le volume, et il a même des contactomorphismes qui envoient tout l'espace euclidian de contact R^{2n+1} dans un voisinage arbitrairement petit d'un point. Cependant, en 2006 Eliashberg, Kim et Polterovich ont découvert un phénomène de non-squeezing pour la variété de contact R^2n x S^1 : ils ont montré (en utilisant des techniques de théorie symplectique des champs) que pour chaque nombre entier k il n'existe pas d'isotopie de contact qui envoie le produit d'une boule de R^2n de capacité plus grande de k avec S^1 dans le produit d'une boule de capacité plus petite de k avec S^1. D'autre part, ils ont aussi montré qu'en dimension supérieure à 3 on peut toujours tasser le produit d'une boule de capacité inférieure à 1 avec S^1 dans le produit d'une autre boule arbitrairement petite avec S^1, mais avaient laissé ouvert le cas général de boules de capacités supérieures à 1 pas séparées par des entiers ; le non-squeezing dans ce cas a été démontré par Chiu en 2017 en utilisant la théorie microlocale des faisceaux et par Fraser en 2016 avec des techniques en continuité avec celles de Eliashberg, Kim et Polterovich. Dans mon exposé je vais présenter une démonstration de ce résultat général de non-squeezing qui utilise les fonctions génératrices, une technique introduite en topologie symplectique et de contact dans les années 80s et qui consiste à appliquer des arguments de théorie de Morse classique à des fonctions (définies sur des variétés de dimension finie) associées à certains des objets symplectiques et de contact qu'on veut étudier. Ceci est un travail en commun avec Maia Fraser et Bingyu Zhang.