Récemment, Lawrence et Venkatesh ont développé une technique pour démontrer la non-densité des points entiers de variétés définies sur les corps de nombres qui supportent une variation de structures de Hodge avec “grande” monodromie. Ils ont utilisé cette méthode pour donner une preuve alternative de la conjecture de Mordell et pour montrer la non-densité des hypersurfaces dans les espaces projectifs avec bonne réduction en dehors un ensemble fini fixé de premiers. Plus tard, Lawrence et Sawin ont adapté cette stratégie pour démontrer qu’à translation près toute variété abélienne sur un corps de nombres ne contient qu’un nombre fini d’hypersurfaces lisses avec classe de Néron-Severi donnée et bonne réduction en dehors d’un ensemble fini fixé de premiers. Dans cette exposé j’expliquerai comment obtenir le même type de finitude pour des sous-variétés de grande codimension, avec application à la finitude à la Shafarevich des surfaces “très irrégulières”.
