Les théorèmes d'Ax Schanuel sont des énoncés portant sur la clôture de Zariski d'une courbe formelle tracée sur une feuille d'un feuilletage d'une variété algébrique :
Un premier énoncé concerne la fonction exponentielle :
Thm(Ax) : Pour t_1, ... t_n dans (C[[s]]), si deg.tr._C C( t_1, ..., t_n , exp(t_1), ... exp(t_n)) < 1+n alors une combinaison linéaire sur Z des t_i est constante
Un second porte sur la fonction modulaire j :
Thm(Pila-Tsimerman) : Pour t_1, ... t_n dans (C[[s]]), si deg.tr._C C( t_1, ..., t_n , j(t_1), ... j(t_n), ... , j''(t_n)) < 1+3n alors il existe k<l et h une homographie dans PGL_2(Q) tels que t_k = h(t_l).
J'expliquerai comment ces théorèmes peuvent être obtenus à partir d'un résultat général sur les connexions principales qui s'applique en particulier aux développantes de (G,X)-structures sur des variétés algébriques.
Travail en collaboration avec D. Blazquez Sanz, J. Freitag et R. Nagloo : https://arxiv.org/abs/2102.03384
