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La géométrie d’Arakelov étudie des variétés projectives sur Spec Z munies de fibrés en droites hermitiens. Elle montre l’existence d’une théorie de l’intersection sur ces objets qui présentent à la fois une structure entière et une structure métrique. Une spécificité de certains théorèmes comme le théorème de Hilbert-Samuel arithmétique est que ceux-ci admettent différents énoncés équivalents, associés à la norme $L2$ ou à la norme sup.
En suivant les travaux de Bost et Charles, je présenterai une façon d’aborder la géométrie d’Arakelov appelée géométrie du tube qui fait un usage extensif de la théorie des structures de Fréchet sur les espaces de sections de faisceaux cohérents, permettant ainsi une unification des différentes normes en une structure topologique canonique, et une extension des données métriques à des cadres beaucoup plus généraux.
Je donnerai ensuite une introduction à la longue histoire du théorème de Hilbert-Samuel arithmétique en géométrie d’Arakelov. Finalement, je montrerai comment le théorème de Hilbert-Samuel arithmétique admet une réinterprétation en utilisant les structures topologiques canoniques sur les espaces de sections. Et j’expliquerai comment cette réinterprétation appelle une nouvelle preuve du théorème de Hilbert-Samuel arithmétique qui fait apparaître une version arakelovienne de la déformation au cône normal et un théorème de conservation du nombre en géométrie d’Arakelov.